本門課延續大一微積分課桯, 將連續, 微分及積分的定義及結論推廣到更高維度的歐氐空間上.
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<br>為達此目的, 我們需要有些嚴格的定義及一些來自於拓撲學的基本概念. 我們會從實數線上開始
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<br>討論, 之後探討距離的定義, 完備空間等. 緊緻的概念是拓撲中最重要的概念之一 , 也
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<br>是許多定理的基本條件. 我們會研究緊緻集及連通集與連續函數之間的關係. 相較於微積分研究
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<br>單一函數的性質, 本門課會探討一些由函數所構成的空間的性質, 由此導入均勻收斂的概念. 
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<br>以下為基本內容:
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<br>1. Cardinality.
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<br>2. Metric spaces and topological spaces.
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<br>3. Continuous functions.
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<br>4. Cauchy sequences.
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<br>5. Complete metric spaces.
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<br>6. Compactness.
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<br>7. The contraction mapping principle.
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<br>8. The Bolzano-Weierstrass theorem.
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<br>9. The Heine-Borel theorem.
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<br>10. The maximum-minimum theorem
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<br>11. Uniformly continuous.
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<br>12. Connectedness.
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<br>13. Cantor set.
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<br>14. Function spaces.
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<br>這門課是邁向高階數學的起點. 課程難度高, 對抽象思維的訓練非常扎實.
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<br>同學需有投入大量時間的心理準備. 我們幾乎每一堂課都會介紹一個新的概念.
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<br>而對新概念的掌握, 需要經過五階段:
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<br>瞭解---> 解構---->沉澱---->吸收---->應用
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<br>這些都需要時間. 雖然這門課只有4學分, 但應將之視為8學分的課, 其他課不要修太多.
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<br>二、指定用書(Text Books)
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<br>1. Jyh Haur Teh, Advanced calculus I-1: Metric spaces, topological spaces and 
<br>sequences, Amazon, 2021.
<br>ISBN 13: 979 8704582137.
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<br>2. Jyh Haur Teh, Advanced calculus I-2: Topological properties and function 
<br>spaces, Amazon, 2021.
<br>ISBN 13: 979 8704969730.
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<br>無需購買, 由老師免費提供給修課學生.
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<br>三、參考書籍(References)
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<br>1. Real Mathematical Analysis, by Pugh.
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<br>2. Elementary Classical Analysis(second edition), by J. Marsden & M. 
<br>Hoffman.
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<br>以上這兩本書相當扎實, 鼓勵同學好好讀一遍. 第二本前半部寫得不錯, 
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<br>但積分方面寫得不是太好, 不過可以參考.
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<br>以下兩本是較為大家熟知的高微課本, 年代較久, 有些缺點, 並非適合大部份人.
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<br>近年新的書本已有很多, 同學可參考適合自己的書.
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<br> (1) Principles of Mathematical Analysis, by W. Rudin.
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<br> (2) Mathematical Analysis, by T. Apostol.
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<br>四、教學方式(Teaching Method)
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<br>課堂講授、討論。另安排有演習課做習題。
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<br>本課程在進行到the contraction mapping principle後, 會介紹Mandelbulb 3D
<br>及ChaosPro讓學生制作3D碎形圖.
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<br>五、教學進度(Syllabus)
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<br>六、成績考核(Evaluation)
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<br>Midterm I, II, III: 25% each.
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<br>Final Exam: 25%.
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<br>HW: 10%.
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<br>Remark: 由這些計分方式得到的分數就是最終的分數, 不會有全班調分的情況.
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<br>七、可連結之網頁位址
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<br>http://www.math.nthu.edu.tw/~jyhhaur
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<br>八、生成式人工智慧倫理聲明：禁止使用
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<br>經仔細考量後，本課程授課教師認為不宜於此門課程當中使用生成式人工智慧於課堂學習當中。因
<br>本課程的內容於生成式AI中尚有諸多錯誤，且容易影響學生對基礎核心知識之判讀。
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<br>根據本校公布之佈的「大學教育場域AI協作、共學與素養培養指引」，本門課程採取禁止使用，以
<br>下為相關的監管機制:
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<br>修讀本門課程之學生應注意本門課不得繳交使用生成式人工智慧所產出的作業、報告或個人心得。
<br>若經查核發現，教師、學校或相關單位有權重新針對作業或報告重新評分或不予計分。
<br>修讀本課程之學生於選課時視為同意以上倫理聲明。
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